Teorija

12. Tjedan

• Lekcija: Materijali u magnetskom polju i primjena magnetskih zakona

---

1.1. Materijali u magnetskom polju

Vrste materijala prema magnetskim svojstvima

1. Dijamagnetici

   • Slabo odbijaju magnetsko polje ($\mu_r < 1$).
   • Primjeri: bakar, srebro (efekt je vrlo malen).

2. Paramagnetici

   • Slabo privlače magnetsko polje ($\mu_r > 1$, ali vrlo blizu 1).
   • Primjeri: aluminij, platina.

3. Feromagnetici

   • Snažno privlače magnetsko polje, $\mu_r$ vrlo velika.
   • Mogu zadržati trajnu magnetizaciju (histerezni ciklus).
   • Primjeri: željezo, nikal, kobalt i njihove legure.

Magnetska permeabilnost $( \mu )$

• Magnetska permeabilnost je svojstvo materijala koje opisuje lakoću prolaska magnetskog toka.
• Relativna permeabilnost: $$\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0},$$ gdje je $\mu_0$ $\approx4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}$ permeabilnost vakuuma.

Magnetizacija $( \vec{M} )$

• Magnetizacija: magnetski moment po jedinici volumena.
• U feromagnetiku, $\vec{M}$ može ostati i bez vanjskog polja (trajni magnet).

---

1.2. Ampereov zakon (Zakon protjecanja)

1.2.1. Izjava Ampereova zakona

U integralnom obliku:

$$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_{\text{uk}},$$

gdje $\vec{H}$ jest jakost magnetskog polja, a $I_{\text{uk}}$ ukupna struja koja prolazi kroz površinu omeđenu zatvorenom konturom.

• Prošireni oblik (Maxwellov ispravljeni Ampereov zakon) uključuje i pomaknu struju $\epsilon_0\,\tfrac{d\Phi_E}{dt}$, ali u statičkoj analizi obično zanemarujemo tu komponentu.

1.2.2. Primjene Ampereova zakona

1. Beskonačno dugi ravni vodič

   • Polje na udaljenosti $r$: $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.$$

2. Više paralelnih vodiča

   • Magnetsko polje u nekoj točki je vektorski zbroj doprinosa svakog vodiča.

3. Krivulja koja ne obuhvaća vodič

   • Ako struja ne probija tu konturu, integral = 0.

---

1.3. Polje beskonačno dugog ravnog vodiča konačnog presjeka

• Polje izvan vodiča: ako je cilindričan, izvan njega vrijedi isto kao tanak idealni vodič:

  $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}, \quad r > R,$$

  gdje je $R$ polumjer vodiča.

• Polje unutar vodiča (ako je struja ravnomjerno raspodijeljena):

  $$B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}, \quad r < R.$$

  Povećava se linearno s $r$ unutar vodiča.

---

1.4. Polje beskonačno duge (idealne) zavojnice

• Magnetsko polje unutar solenoida (dugačkog): $$B = \mu_0 n I,$$ gdje je $n=\frac{N}{L}$ gustoća namotaja.
• Polje homogeno unutar zavojnice, zanemarujući rubne efekte.

---

1.5. Biot-Savartov zakon

1.5.1. Izjava Biot-Savartova zakona

Doprinos malog elementa vodiča $d\vec{l}$ s strujom $I$ na magnetsko polje $d\vec{B}$ u točki:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I \, (d\vec{l}\times \vec{r})}{r^3}.$$

Za cijeli vodič:

$$\vec{B}(\vec{R})= \frac{\mu_0 I}{4\pi}\,\int \frac{d\vec{l}\times \vec{r}}{r^3}.$$

1.5.2. Primjena

• Polje beskonačnog vodiča (rješenje vodi do $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$).
• Polje polukružnog luka, petlje, etc. – numerička ili analitička integracija.

---

1.6. Sila u magnetskom polju

1.6.1. Sila na naboj

• Lorentzova sila: $\vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B}).$
• Pozitivan naboj slijedi pravilo desne ruke, negativan obrnuto.

1.6.2. Sila na vodič s strujom

• $\vec{F}= I\,(\vec{l}\times\vec{B}).$
• Primjena: motori, pomicanje klizača, linearni aktuatori.

---

Primjeri zadataka i rješenja

Zadatak 1: Polje unutar vodiča

Imamo beskonačno dugi, cilindrični vodič polumjera $R=0.02\,\mathrm{m}$, ravnomjerno raspoređenom strujom $I=10\,\mathrm{A}$. Naći magnetsko polje $B(r)$ za $r<R$.

Rješenje (korak):

1. Ampereov zakon: odaberemo kružnu Amperovu petlju polumjera $r<R$.
2. Struja “obuhvaćena” je omjer površina: $\displaystyle I_{\text{unutar}}= I\,\frac{\pi r^2}{\pi R^2} = I\frac{r^2}{R^2}.$
3. $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}= B(2\pi r)= \mu_0 I_{\text{unutar}}.$
4. $B\,2\pi r= \mu_0 I \tfrac{r^2}{R^2}.$ $$B(r)= \frac{\mu_0 I}{2\pi R^2} r, \quad (r<R).$$ Linearno raste s $r$.

---

Zadatak 2: Polje polukružnog vodiča (Biot-Savart)

Polukružni vodič polumjera $R=0.1\,\mathrm{m}$, struja $I=2\,\mathrm{A}$. Nađi $B$ u središtu luka.

Rješenje (korak)

1. Biot-Savart: polukrug kuta $\pi$.
2. Rezultat (poznat form.): $$B= \frac{\mu_0 I}{4R}\cdot\theta= \frac{\mu_0 I \,\pi}{4R}.$$
3. Numerički: $\mu_0=4\pi\times10^{-7}, I=2, R=0.1.$
   $\implies B= \tfrac{4\pi\times10^{-7}\times2\times\pi}{4\times0.1}= \dots$

---

Zadatak 3: Sila na ravni vodič u homogenom polju

Duljina vodiča $l=0.3\,\mathrm{m}$, struja $I=5\,\mathrm{A}$, polje $B=0.02\,\mathrm{T}$, vodič okomit na $B$. Naći magnetsku silu.

Rješenje (korak)

$$F= I\, l\, B= 5\times0.3\times0.02=0.03\,\mathrm{N}.$$

Smjer: desna ruka (struja x polje).

---

Zadatak 4: Lorentzova sila na elektron

Elektron brzinom $v= 3\times10^{6}\,\mathrm{m/s}$ upada okomito na polje $B=0.01\,\mathrm{T}$. Naći radijus putanje.

Rješenje (kratko)

$$q(\vec{v}\times\vec{B})= \frac{m v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad r= \frac{m v}{|q|B}.$$

($m=9.11\times10^{-31}, q=-1.6\times10^{-19}.$)

---

Zaključak

• Magnetska svojstva materijala (dijamagnetici, paramagnetici, feromagnetici) uvjetuju vrijednost $\mu_r$.
• Amperov zakon omogućuje lak izračun polja kod simetrija (vodič, solenoid...), dok je Biot-Savart općenitiji (integracija).
• Sila u magnetskom polju (na česticu ili vodič) od ključne je važnosti za motore, generatore i sve elektromehaničke pretvornike energije.

Vježbe

Auditorne vježbe: Biot-Savartov zakon i sila u magnetskom polju

---

Zadatak 1: Magnetsko polje polukružnog vodiča

Tekst: Polukružni vodič polumjera $R$ vodi istosmjernu struju $I$ i leži u ravnini $(x,y)$. Odredite magnetsku indukciju $B$ u središtu tog polukruga (točka koja je središte punog kruga).

Rješenje (korak po korak)

1. Biot-Savartov zakon (u vektorskom obliku):

   $$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I \, (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}.$$
   • Ovdje je $d\vec{l}$ mali element vodiča, $I$ je struja, $\vec{r}$ vektor od elementa vodiča do točke mjerenja, a $r = |\vec{r}|$.

2. Parametrizacija polukruga:

   • Pretpostavimo da je središte polukruga na ishodištu, a vodič polumjera $R$ zauzima kut od $0$ do $\pi$ u polarnoj koordinati.
   • Koordinata elementa vodiča: $\vec{r}'(\phi) = (R\cos\phi, R\sin\phi)$, gdje $\phi \in [0,\pi]$.
   • Točka u kojoj računamo $B$ je ishodište $(0,0)$, pa vektor $\vec{r} = -\vec{r}'$ (ka ishodištu). Ali interesira nas samo veličina i smjer.

3. Iz simetrije:

   • Sav doprinos $d\vec{B}$ bit će okomit na ravninu (jer polukrug leži u $(x,y)$-ravnini).
   • Magnetsko polje izlazi iz ravnine (ili ulazi, ovisi o smjeru struje) i bit će jednake veličine za svaki segment i iste orijentacije (po z-osi), pa se možemo poslužiti poznatim rezultatom ili integralom.

4. Poznati rezultat (ili integral):

   • Za punu kružnicu (kut $2\pi$), magnetska indukcija u centru je $B_{\text{krug}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
   • Za polukrug (kut $\pi$), indukcija je polovica toga:
     $B= \frac{1}{2}\,\frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{\mu_0 I}{4R}.$
   • Međutim, neki izvori daju formulu s faktorom $\theta$. Konkretno, za luk kuta $\theta$ polumjera $R$: $B= \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\times\theta.$
   • Budući da je $\theta=\pi$ za polukrug,
     $B= \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\cdot \pi= \frac{\mu_0 I}{4R}\cdot \text{(}\pi\text{is simplified)}.$
     Zapravo: $\frac{\mu_0 I \,\theta}{4\pi R}$. Ubacimo $\theta=\pi$: $\frac{\mu_0 I \pi}{4\pi R} = \frac{\mu_0 I}{4 R}.$

Konačan odgovor (magnituda):

$$B = \frac{\mu_0 I}{4\,R}.$$

Smjer: okomit na ravninu polukruga (z-osi), ovisi o orijentaciji struje (pravo desne ruke).

---

Zadatak 2: Magnetsko polje vodiča konačne duljine (segment)

Tekst: Vodič duljine $L$ (ravan segment) vodi struju $I$. Točka $P$ leži okomito na sredinu vodiča na udaljenosti $a$. Koristeći Biot-Savart, odredite veličinu $B$ u točki $P$. Zanemarimo debljinu vodiča.

Rješenje (skraćeni postupak)

1. Postavljanje koordinata:

   • Osi $x$ duž vodiča, segment od $-\tfrac{L}{2}$ do $+\tfrac{L}{2}$.
   • Točka $P$ na osi $y$, $(0,a)$.

2. Biot-Savart:

   $$d\vec{B}= \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\, (d\vec{l}\times \vec{r})}{r^3}, \quad d\vec{l}= dx\,\hat{i}.$$

3. Vektor $\vec{r}$ od elementa $(x,0)$ do $(0,a)$: $\vec{r}= (0-x)\hat{i}+(a-0)\hat{j}= -x\hat{i} + a\hat{j}.$

   $$r= \sqrt{x^2+a^2}.$$

4. $d\vec{l}\times \vec{r}$:
   $\hat{i}\times(-x\hat{i}+ a\hat{j})= a(\hat{i}\times \hat{j})= a\hat{k}$.
   Dakle $d\vec{l}\times \vec{r}= dx\cdot a\hat{k}.$

5. Integracija:

   $$B= \int_{}^{} dB= \frac{\mu_0 I}{4\pi}\,\int_{-L/2}^{+L/2}\,\frac{a\,dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}.$$

   Rezultat daje:

   $$B= \frac{\mu_0 I}{4\pi a}\,\left[\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right]_{-L/2}^{+L/2}.$$

   Nakon uvrštavanja dobijemo:

   $$B= \frac{\mu_0 I}{4\pi a}\,\left(\frac{L}{\sqrt{\frac{L^2}{4}+a^2}}\right).$$

---

Zadatak 3: Sila na ravni vodič u homogenom polju

Tekst: Vodič duljine $l=0.3\,\mathrm{m}$ nosi struju $I=4\,\mathrm{A}$. U homogenom magnetskom polju $B=0.05\,\mathrm{T}$, vodič je okomit na $\vec{B}$. Odrediti magnitudu i smjer sile.

Rješenje (korak po korak)

1. Formula sile: $\vec{F}= I\,(\vec{l}\times\vec{B}).$
2. Ako su $\vec{l}$ i $\vec{B}$ okomiti, $F= I\,l\,B.$
3. Numerika: $F=4\times0.3\times0.05=0.06\,\mathrm{N}.$
4. Smjer: Desna ruka – ako $\vec{l}$ je npr. u x-smjeru, $\vec{B}$ u y, onda $\vec{F}$ u z-smjeru.

---

Zadatak 4: Lorentzova sila na ion

Tekst: Ion naboja $q=+1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}$ i mase $m=3.3\times10^{-26}\,\mathrm{kg}$ (npr. ion dušika) ima brzinu $v=1\times10^5\,\mathrm{m/s}$ okomito na polje $B=0.02\,\mathrm{T}$. Naći radijus kružne putanje.

Rješenje (korak):

1. Lorentzova sila daje centripetalnu: $$q v B= \frac{m v^2}{r}.$$
2. $r= \frac{m\,v}{q\,B}.$
3. Numerički: $$r= \frac{3.3\times10^{-26}\times 1\times10^5}{1.6\times10^{-19}\times0.02}= \frac{3.3\times10^{-21}}{3.2\times10^{-21}}\approx 1.03\,\mathrm{m}.$$ Oko $1\,\mathrm{m}$.

---

Zaključci

1. Biot-Savartov zakon: raščlanjuje polje strujnog elementa, integracijom dobijemo polje vodiča složenih geometrija.
2. Sila u magnetskom polju:
   • Na pojedinačan naboj: Lorentzova sila $q(\vec{v}\times\vec{B})$.
   • Na vodič: $I(\vec{l}\times\vec{B})$.
3. Primjene: motori, aktuatori, leteće čestice (akceleratori), industrija s magnetskim poljem.

Ispit

Koja je formula za Lorentzovu silu na nabijenu česticu $q$ koja se giba brzinom $\vec{v}$ u magnetskom polju $\vec{B}$?

$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

$\vec{F} = q(\vec{v} + \vec{B})$

$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

$\vec{F} = q\vec{v} \cdot \vec{B}$

Kako se računa magnetska indukcija $B$ u središtu polukružnog vodiča polumjera $R$ s istosmjernom strujom $I$ koristeći Biot-Savartov zakon?

$B = \frac{\mu_0 I}{4 R}$

$B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$

$B = \frac{\mu_0 I \pi}{4 R}$

$B = \frac{\mu_0 I \pi}{2 R}$

Koja je formula za magnetsku silu $\vec{F}$ na element vodiča duljine $\vec{l}$ s istosmjernom strujom $I$ u homogeno magnetsko polje $\vec{B}$?

$\vec{F} = I \cdot (\vec{B} \times \vec{l})$

$\vec{F} = I \cdot (\vec{l} \times \vec{B})$

$\vec{F} = I \cdot \vec{B} \cdot \vec{l}$

$\vec{F} = I \cdot \vec{B} + \vec{l}$

Koja je formula za magnetsko polje $B$ oko beskonačno dugačkog ravnog vodiča koji nosi struju $I$ na udaljenosti $r$ koristeći Biot-Savartov zakon?

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

$B = \frac{\mu_0 I}{r}$

$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2}$

$B = \mu_0 I r$

Koji je izraz za **Biot-Savartov zakon** u kontekstu magnetskog polja?

Opisuje vezu između magnetskog polja i magnetskih silnica

Opisuje doprinos malog strujnog elementa na magnetsko polje

Opisuje cirkulaciju magnetskog polja oko zatvorene petlje

Opisuje indukciju elektromotorne sile u promjenjivom magnetskom polju

Koja je formula za silu $\vec{F}$ na električnu česticu $q$ koja se giba brzinom $\vec{v}$ u magnetskom polju $\vec{B}$ koristeći Lorentzovu silu?

$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

$\vec{F} = q\vec{v} \cdot \vec{B}$

$\vec{F} = q(\vec{v} + \vec{B})$

$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

Kako se koristi **Biot-Savartov zakon** za izračunavanje magnetske indukcije $B$ oko beskonačno dugačke ravne zavojnice?

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

$B = \frac{\mu_0 I N}{2\pi r}$

$B = \frac{\mu_0 I N}{4 R}$

$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}$

Koja je formula za radijus $r$ kružne putanje elektrona s nabojem $q$, masom $m$, brzinom $v$, i magnetskom indukcijom $B$, koristeći Lorentzovu silu?

$r = \frac{m v}{q B}$

$r = \frac{q B}{m v}$

$r = \frac{m v^2}{q B}$

$r = \frac{m}{q v B}$

Što kaže **Biot-Savartov zakon** u kontekstu magnetskog polja?

Opisuje vezu između magnetskog polja i magnetskih silnica

Opisuje doprinos malog strujnog elementa na magnetsko polje

Opisuje cirkulaciju magnetskog polja oko zatvorene petlje

Opisuje indukciju elektromotorne sile u promjenjivom magnetskom polju

Kako se koristi **Amperov zakon** za izračunavanje magnetskog polja unutar idealnog solenoida?

$B = \mu_0 n I$

$B = \frac{\mu_0 n I}{2\pi r}$

$B = \mu_0 n I r$

$B = \frac{\mu_0 n I}{r}$

Koji zakon opisuje induciranu elektromotornu silu kada se magnetski tok kroz zatvorenu petlju mijenja?

Ampereov zakon

Biot-Savartov zakon

Gaussov zakon za magnetsko polje

Faradayev zakon elektromagnetske indukcije

Koja je formula za magnetsko polje $B$ unutar vodiča polumjera $R$ koji vodi ravnomjerno raspodijeljenu struju $I$, na udaljenosti $r < R$ od središta vodiča?

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

$B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}$

$B = \frac{\mu_0 I R}{2\pi r^2}$

$B = \frac{\mu_0 I r^2}{2\pi R}$

Kako se računa magnetska sila $F$ na vodič duljine $l$ s istosmjernom strujom $I$ u homogeno magnetsko polje $B$ koje je okomito na vodič?

$F = I l B \sin(\theta)$

$F = I l B$

$F = I l B \cos(\theta)$

$F = I l + B$